Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f : A −→ Y una función. Lafunción F : X −→ Y es una extensión de f si y sólo si paracada a ∈ A, f(a) = F (a).No siempre es posible encontrar extensiones de funciones continuas.Por ejemplo la función f : (0, 1] −→ R definida porf(x) = sin( 1 x) es una función continua que no se puede extenderal intervalo [0, 1].El siguiente teorema caracteriza los espacios en los que siemprees posible extender a todo el espacio, funciones continuasdefinidas en un subespacio cerrado.5.6.4 Teorema. Extensión de Tietze. Un espacio topológico Xes un espacio normal si y sólo si para cada subespacio cerradoL de X y cada función continua f : L −→ [a, b], existe unaextensión continua F : X −→ [a, b] de f.Aquí, nuevamente en el lugar del intervalo cerrado [a, b] se puedeutilizar cualquier intervalo cerrado. En la prueba del Teoremautilizaremos el intervalo [−1, 1].Demostración. Supongamos que X es normal, que L es un subespaciocerrado de X y que f : L −→ [−1, 1] es una funcióncontinua.Consideremos los conjuntos cerrados y disyuntos([A 0 = f −1 −1, − 1 ])3109