Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

a) Sean τ la topología usual sobre R y ρ la topología decomplementos finitos sobre Z. Dé un ejemplo de unafunción cerrada definida de (R, τ) en (Z, ρ).b) Muestre con un ejemplo que no toda función cerradadefinida de un espacio métrico en otro es continua.c) Muestre con un ejemplo que no toda función continuadefinida de un espacio métrico en otro es cerrada.5. Sean X un espacio topológico y K una familia de subconjuntosde X que satisface las siguientes condiciones:a) ∅ y X pertenecen a K.b) Si F, K ∈ K entonces F ∪ K ∈ K.c) Si C ⊂ K, entonces ⋂ F ∈C F ∈ K.Demuestre que la colección τ de todos los complementosde elementos de K es una topología sobre X y que K es lacolección de conjuntos cerrados del espacio (X, τ).6. Sea X un espacio topológico. Una familia K de subconjuntoscerrados de X es una base para los conjuntos ceradosen X si cualquier conjunto cerrado es intersección de elementosde K.a) Demuestre que K es una base para los conjuntos ceradosen X si y sólo si la colección B = {K c : K ∈ K},de todos los complementos de elementos de K es unabase para la topología de X.b) ¿Es la colección de todos los intervalos cerrados en Runa base para los conjuntos cerados en R usual ?Regresar143