Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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6. Pruebe que el espacio de Sierpinski no es un espacio T 1 .7. Sea X un conjunto ordenado y considere la topología de lascolas a derecha definida sobre X. Demuestre que X no esun espacio T 1 .8. Demuestre que todo subespacio de un espacio T 1 es un espacioT 1 .9. Demuestre que un producto arbitrario de espacios T 1 novacíos es un espacio T 1 si y sólo si cada uno de los factoreslo es.Regresar165
Ejercicios 5.21. Determine cuáles de los siguientes espacios son de Hausdorff.En cada caso justifique plenamente su respuesta.a) El plano de Moore.b) El plano ranurado.c) Los números reales con la topología para la cual cadanúmero real x distinto de 0 tiene como sistema fundamentalde vecindades los intervalos abiertos centradosen x, mientras que las vecindades fundamentales de0 son los conjuntos de la forma (−∞, −n) ∪ (−ɛ, ɛ) ∪(n, ∞), donde n ∈ N y ɛ > 0.2. Demuestre que todo subespacio de un espacio de Hausdorffes un espacio de Hausdorff.3. Demuestre que un producto arbitrario de espacios de Hausdorffno vacíos es un espacio de Hausdorff si y sólo si cadauno de los factores lo es.4. Recuerde que una sucesión (x n ) n∈N en un espacio topológicoX converge a un punto x ∈ X si y sólo si para cada vecindadV de x existe N ∈ N de tal manera que x n ∈ V para cadan ≥ N.a) Demuestre que si X es un espacio de Hausdorff entoncescada sucesión en X converge a lo más a un punto deX.b) Considere X = R con la topología de los complementosfinitos. Demuestre que existen sucesiones en X queconvergen a más de un punto simultáneamente.166
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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clase de equivalencia de un punto (
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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menos que cada conjunto unitario en
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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En los espacios 1-enumerables, las
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Page 146 and 147: 9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Page 162 and 163: Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
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