Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Consideremos un espacio métrico X. De la definición se infierende manera natural los siguientes hechos:1. El conjunto vacío ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos.2. Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A ∩ B es unconjunto abierto en X.3. La unión de cualquier familia de conjuntos abiertos en Xes un conjunto abierto en X.Nótese que en un espacio métrico X las bolas abiertas son conjuntosabiertos y que cada conjunto abierto se puede expresarcomo una unión de bolas abiertas. Decimos entonces que lasbolas abiertas “generan” los conjuntos abiertos. Más adelanteexpresaremos este hecho diciendo que las bolas abiertas “generanla topología del espacio X” o que “son una base para latopología de X”.La siguiente definición establece un criterio que nos permitesaber cuándo, desde el punto de vista puramente topológico,vale la pena distinguir entre dos métricas aparentemente distintas.1.3.6 Definición. Dos métricas sobre un conjunto X sonequivalentes si generan los mismos conjuntos abiertos.1.3.7 Ejemplos.1. Hemos visto que si X es un conjunto contable entonces lossubconjuntos unitarios de X son bolas abiertas, tanto si25