Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Ejercicios 0.61. Sea (X i ) i∈I una familia de conjuntos. Muestre que si X i = ∅para algún i ∈ I entonces ∏ i∈I X i = ∅.2. Muestre que si n > 1 y X 1 , ..., X n son conjuntos, entoncesexiste una función biyectiva definida del conjunto X 1 ×...×X n en el conjunto (X 1 × ... × X n−1 ) × X n .3. Muestre que si (X i ) i∈I una familia de conjuntos y si J yK son subconjuntos de I no vacíos y disyuntos, tales queI = J ∪ K, entonces existe una función biyectiva definidadel producto ∏ i∈I X i en el conjunto ( ∏ j∈J X j)×( ∏ k∈K X k)en el conjunto.4. Con frecuencia se denota al conjunto R N con el símbolo R ω .Determine cuáles de los siguientes subconjuntos de R ω sepueden expresar como producto cartesiano de subconjuntosde R.a) {x : x n ∈ Z para todo n}.b) {x : x n ≥ n para todo n}.c) {x : x n = x n+1 para todo n primo}.d) {x : x n ∈ Z para todo n ≥ 1000}.5. Sean (X i ) i∈I y (Y i ) i∈I dos familias de conjuntos. Determinecuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuálesson falsas. En cada caso dé una demostración o un contraejemploindicando además si por lo menos es cierta unacontenencia.∏a)i∈I (X i Y i ) = ∏ i∈I X i ∏ i∈I Y i.124