Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topología usual, el interior del intervalo [a, b] esel intervalo (a, b) pero NO siempre en un espacio métricoel interior de una bola cerrada B[x, ɛ] es la bola abiertaB(x, ɛ). Nuevamente la métrica discreta sobre un conjuntocon más de un punto nos ilustra este hecho.2. Consideremos nuevamente R con la topología usual. Q ◦ =(R Q) ◦ = ∅. Nótese que (Q ◦ ∪ (R Q)) ◦ = R ◦ = R. Estees un ejemplo que muestra que puede ocurrir (A ∪ B) ◦ ≠A ◦ ∪ B ◦ .Si A es un subconjunto de un espacio topológico X decimos queel exterior de A es el interior del complemento de A, esto es,(X A) ◦ . Los puntos de X que no están ni en interior ni en elexterior de A tienen una característica especial: cada vecindadde uno de estos puntos contiene tanto puntos de A como puntosde X A. Se tiene entonces la siguiente definición.2.7.6 Definición. Sean X un espacio topológico y A un subconjuntode X. Un punto x ∈ X es un punto frontera de A sipara cada vecindad V se tiene V ∩A ≠ ∅ y V ∩(X A) ≠ ∅. Elconjunto de todos los puntos frontera de A se denota por Fr Ay se llama la frontera de A.Nótese queFr A = A ∩ X Ay que la frontera de A es siempre un conjunto cerrado.53