Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

1. f es un homeomorfismo.2. Si A ⊂ X, entonces f(A) es abierto en Y si y sólo si A esabierto en X.3. Si K ⊂ X, entonces f(K) es cerrado en Y si y sólo si Kes cerrado en X.4. Si M ⊂ X, entonces f(M) = f(M).3.2.3 Observación. La relación ∼ definida en los espacios topológicospor X ∼ Y si y sólo si X y Y son homeomorfos es unarelación de equivalencia. Esto justifica el hecho de que veamosdos espacios topológicos homeomorfos como el mismo espacio.La relación “ser homeomorfos” nos permite conocer un espaciotopológico por sus características relevantes (aquellas que lohacen único) y no por los nombres de sus elementos.Cuando en la observación anterior hablamos de “característicasrelevantes” de un espacio nos estamos refiriendo a las propiedadestopológicas del espacio. Una propiedad topológica es aquella quesi la posee un espacio X, la posee también cualquier espaciohomeomorfo a X.Que los conjuntos unitarios de un espacio topológico sean conjuntoscerrados es un ejemplo de una propiedad topológica.Si f : X −→ Y es una función continua y uno a uno y sif −1 : f(X) −→ X también es continua entonces X y f(X)son homeomorfos. En este caso decimos que la función f es unainmersión de X en Y o que X está inmerso en Y . En términosprácticos, podemos pensar en X como un subespacio de Y .70