Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) sii x 1 = x 2 .3. Consideremos f : X −→ Y una función y definamos larelación ∼ sobre X por a ∼ b sii f(a) = f(b).a) Demuestre que ∼ es una relación de equivalencia.b) Demuestre que si f es sobreyectiva y si X/∼ es el conjuntode clases de equvalencia, entonces existe una correspondenciabiyectiva entre X/∼ y el conjunto Y .c) Si X = Y = R describa un método geométrico que permitavisualizar la clase de equivalencia de un númeroreal.4. Demuestre que dada una colección de relaciones de equivalenciasobre un conjunto X, la intersección de la coleccióntambién es una relación de equivalencia sobre X.5. ¿Es la unión de relaciones de equivalencia sobre un conjuntoX una relación de equivalencia sobre X?6. Determine cuáles de las siguientes relaciones definidas sobreR 2 son relaciones de orden.a) (x 1 , y 1 ) ≤ (x 2 , y 2 ) sii ((x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 )) o (x 1 −y 2 ∈ N).b) (x 1 , y 1 ) ≤ (x 2 , y 2 ) sii ((x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 )) o (x 2 ≤ y 2 ).c) (x 1 , y 1 ) ≤ (x 2 , y 2 ) sii ((x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 )) o (x 1 −y 2 ∈ Z).d) (x 1 , y 1 ) ≤ (x 2 , y 2 ) sii ((x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 )) o (x 1 y 2 ∈ Z).e) (x 1 , y 1 ) ≤ (x 2 , y 2 ) sii ((x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 )) o (x 1 y 1 ∈ Q).f )(x 1 , y 1 ) ≤ (x 2 , y 2 ) sii ((x 1 , y 1 ) = (x 2 , y 2 )) o (x 1 < x 2 o(x 1 = x 2 y y 1 < y 2 )).127