Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Ejercicios 5.21. Determine cuáles de los siguientes espacios son de Hausdorff.En cada caso justifique plenamente su respuesta.a) El plano de Moore.b) El plano ranurado.c) Los números reales con la topología para la cual cadanúmero real x distinto de 0 tiene como sistema fundamentalde vecindades los intervalos abiertos centradosen x, mientras que las vecindades fundamentales de0 son los conjuntos de la forma (−∞, −n) ∪ (−ɛ, ɛ) ∪(n, ∞), donde n ∈ N y ɛ > 0.2. Demuestre que todo subespacio de un espacio de Hausdorffes un espacio de Hausdorff.3. Demuestre que un producto arbitrario de espacios de Hausdorffno vacíos es un espacio de Hausdorff si y sólo si cadauno de los factores lo es.4. Recuerde que una sucesión (x n ) n∈N en un espacio topológicoX converge a un punto x ∈ X si y sólo si para cada vecindadV de x existe N ∈ N de tal manera que x n ∈ V para cadan ≥ N.a) Demuestre que si X es un espacio de Hausdorff entoncescada sucesión en X converge a lo más a un punto deX.b) Considere X = R con la topología de los complementosfinitos. Demuestre que existen sucesiones en X queconvergen a más de un punto simultáneamente.166