Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

subconjunto A de X en el subconjunto de Y f(A) = {f(x) : x ∈A}. La segunda aplicación que se denomina imagen recíproca yse denota por f −1 , está definida de P(Y ) en P(X) por f −1 (B) ={x ∈ X : f(x) ∈ B}. Por simplicidad, para y ∈ Y escribimosf −1 (y) en lugar de f −1 ({y}).Decimos que una función f : X −→ Y es uno a uno o inyectivasi f(x) ≠ f(y) siempre que x sea diferente de y, sobreyectiva (osimplemente sobre) si f(X) = Y y biyectiva si es uno a uno ysobre.Nótese que una función f : X −→ Y es uno a uno si y sólo sif −1 (f(A)) = A para todo A ⊂ X y que f es sobreyectiva si ysólo si f(f −1 (B)) = B para todo B ⊂ Y .Si f : X −→ Y es una función biyectiva, existe una funciónde Y en X que se llama la inversa de f y se denota por f −1definida por f −1 (y) = x si y sólo si f(x) = y. El hecho de que fsea sobreyectiva garantiza la existencia de x = f −1 (y) para caday ∈ Y y el que f sea uno a uno garantiza que tal x es único.Si f : X −→ Y y g : Y −→ Z son funciones entonces la funcióncompuesta g ◦ f : X −→ Z está definida por g ◦ f(x) = g(f(x)).Formalmente hablando, (x, z) ∈ g ◦ f si y sólo si existe y ∈ Ytal que (x, y) ∈ f y (y, z) ∈ g.Ejercicios9