Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo espacio seudométrico es completamenteregular.2. Demuestre que todo espacio métrico es un espacio de Tychonoff.3. Sea τ la topología sobre R en la cual las vecindades básicasde cada número real x ≠ 0 son los intervalos abiertosusuales centrados en x mientras que las vecindades básicasde 0 son los conjuntos de la forma (−ɛ, ɛ) ∪ (−∞, −n) ∪(n, ∞), donde ɛ > 0 y n es un entero positivo. Muestre queel espacio (R, τ) es un espacio de Tychonoff.4. Demuestre que el plano de Moore es un espacio de Tychonoff.5. Demuestre que cada subespacio de un espacio completamenteregular (resp. de un espacio de Tychonoff) es completamenteregular. (resp. de Tychonoff).6. Demuestre que un producto no vacío de espacios topológicoses completamente regular (resp. de Tychonoff) si y sólosi cada factor es un espacio completamente regular (resp.un espacio de Tychonoff).7. Pruebe que un espacio topoloógico X es completamenteregular si y sólo si tiene la topología inicial inducida por sufamilia C ∗ (X) de funciones continuas y acotadas definidasde X en R.8. Cualquier producto de intervalos cerrados y acotados en Rrecibe el nombre de cubo. Pruebe que un espacio topológico169
X es un espacio de Tychonoff si y sólo si es homeomorfo a unsubespacio de algún cubo. (Sugerencia: Si X es un espaciode Tychonoff, utilice el ejercicio anterior. Observe que cadafunción f ∈ C ∗ (X) tiene como rango un subconjunto deun intervalo cerrado y acotado I f y considere la funciónevaluación e : X −→ ∏ I f definida por [e(x)] f = f(x)).Regresar170
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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clase de equivalencia de un punto (
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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menos que cada conjunto unitario en
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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En los espacios 1-enumerables, las
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3. Cualquier subespacio de un espac
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c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
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Page 126 and 127: )c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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Page 146 and 147: 9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Page 154 and 155: 7. Utilice el ejercicio anterior pa
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Page 166 and 167: 6. Pruebe que el espacio de Sierpin
Page 168 and 169: 5. Demuestre que el espacio topoló
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