Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Ejercicios 1.11. Demuestre que las siguientes funciones son métricas sobrelos conjuntos dados.a) Si X es un conjunto cualquiera, sea ρ : X × X −→ Rla función definida por{0 si x = yρ(x, y) =1 si x ≠ y.b) En R la función definida por ρ(x, y) = |x − y|.c) En R n la función definida por∑ρ((x 1 , ..., x n ), (y 1 , ..., y n )) = √ n (x i − y i ) 2 .d) En el plano, la función definida pori=1ρ 1 ((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )) = |x 1 − x 2 | + |y 1 − y 2 |es un espacio métrico. La función ρ 1 se suele llamar lamétrica del taxista.e) En el plano, la función definida por definida porρ 2 ((x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )) = máx{|x 1 − x 2 |, |y 1 − y 2 |}es un espacio métrico.f ) En el conjunto X de todas las funciones acotadas f :R −→ R, la función ρ : X × X −→ R definida porρ(f, g) = sup{|f(x) − g(x)| : x ∈ R}.130