Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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menos que cada conjunto unitario en el espacio sea un conjuntocerrado. Esto es, a menos que además, el espacio sea T 1 .5.4.4 Definición. Un espacio topológico X es un espacio deTychonoff o T 32 si es completamente regular y T 1.5.4.5 Ejemplos.1. Todo espacio métrico es un espacio de Tychonoff.2. Sea τ la topología sobre R en la cual las vecindades básicasde cada número real x ≠ 0 son los intervalos abiertos usualescentrados en x mientras que las vecindades básicas de 0son los conjuntos de la forma (−ɛ, ɛ) ∪ (−∞, −n) ∪ (n, ∞),donde ɛ > 0 y n es un entero positivo. El espacio (R, τ) esun espacio de Tychonoff.3. El plano de Moore es un espacio de Tychonoff.Algunas de las más notables propiedades de los espacios completamenteregulares y de los espacios de Tychonoff se resumenen la siguiente proposición.5.4.6 Proposición.1. Cada subespacio de un espacio completamente regular (resp.de un espacio de Tychonoff) es completamente regular. (resp.de Tychonoff).101
2. Un producto no vacío de espacios topológicos es completamenteregular (resp. de Tychonoff) si y sólo si cada factores un espacio completamente regular (resp. un espacio deTychonoff).Ejercicios5.5. Espacios normalesEn las secciones anteriores estudiamos espacios topológicos enlos que se pueden separar puntos distintos o puntos de conjuntoscerrados, utilizando conjuntos abiertos o funciones continuas.En los espacios topológicos que estudiaremos ahora, es posibleseparar dos conjuntos cerrados disyuntos.5.5.1 Definición. Un espacio topológico X es un espacio normalsi dados F y K subconjuntos de X cerrados y disyuntos,existen subconjuntos abiertos U y V de X tales que F ⊂ U,K ⊂ V y U ∩ V = ∅. Un espacio es T 4 si es normal y T 1 .Veamos algunos ejemplos.5.5.2 Ejemplos.1. Todo espacio seudométrico es normal. En efecto, si (X, d)es un espacio seudométrico y A y B son subconjuntos cerradosy disyuntos de X, entonces para cada a ∈ A existe ɛ a >0 tal que B(a, ɛ a ) ∩ B = ∅ y para cada b ∈ B existe δ b > 0102
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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