Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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d) Si⋃x ∈ A para cada elemento A ∈ A entonces x ∈A∈A .e) Si x ∈ ⋂ A∈Aentonces x ∈ A para al menos un elementoA ∈ A.f )Si x ∈ A para al menos un elemento A ∈ A entoncesx ∈ ⋂ A∈A .g) Si x ∈ ⋂ A∈Aentonces x ∈ A para cada elemento A ∈A.h) Si x ∈ A para cada elemento A ∈ A entonces x ∈⋂A∈A .Regresar119
Ejercicios 0.41. Muestre con un ejemplo que si A y B son conjuntos arbitrariosentonces no es siempre cierto que A × B = B × A.¿Bajo qué condiciones es cierta esta igualdad?2. Determine cuáles de los siguientes subconjuntos de R sepueden expresar como el producto cartesiano de dos subconjuntosde R.a) {(x, y) : y es un entero }.b) {(x, y) : x es un natural par y y ∈ Q}.c) {(x, y) : y < x}.d) {(x, y) : x es un múltiplo entero de π}.e) {(x, y) : x 2 − y 2 < 1}.3. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderasy cuáles son falsas. En cada caso dé una demostracióno un contraejemplo indicando además si por lo menos escierta una contenencia.a) A × (A B) = (A × A) (A × B).b) A × (B A) = (A × B) (A × A).c) A × (B C) = (A × B) (A × C).d) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).e) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).f )(A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (B × D).g) (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D).h) (A B) × (C D) = (A × C) (B × D).Regresar120
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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