Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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De manera recíproca, Si O es un subconjunto abierto de Z,entonces f −1 (O) es abierto en Y , porque fα−1 (f −1 (O)) es abiertoen X α para cada α ∈ Λ.4.4.4 Observación. Si τ ′ es una topología sobre Y tal que f αes continua para cada α ∈ Λ y si denotamos por Y ′ al espacioformado por el conjunto Y junto con la topología τ ′ , entonces elteorema anterior garantiza que la aplicación idéntica de Y en Y ′es continua. Esto significa que τ ′ es menos fina que la topologíafinal sobre Y .4.5. Topología cocienteEjerciciosConsideremos un espacio topológico X y una relación de equivalencia∼ definida sobre X. Como es costumbre, denotaremospor [x] la clase de equivalencia de un elemento x ∈ X y porX/ ∼ el conjuunto de todas las clases de equivalencia. Esto es,X/ ∼= {[x] : x ∈ X}.La función canónica q : X −→ X/ ∼ definida por q(x) = [x]induce la topología final sobre el cociente X/ ∼. El espacioasí definido recibe el nombre de espacio cociente y la topologíafinal se llama también topología cociente.83
4.5.1 Ejemplos.1. Sea X = {(x, y) ∈ R 2 : −1 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 1} consideradocomo subespacio del plano. Definimos la relación deequivalencia ∼ sobre X de la siguiente manera:(x 0 , y 0 ) ∼ (x 1 , y 1 ) si y sólo sia) x 0 = x 1 y y 0 = y 1 , ob) x 0 = ±1, x 1 = −x 0 y y 1 = 1 − y 0 .El espacio cociente que se obtiene al dotar al conjunto X/ ∼de la topología cociente se conoce como cinta de Moëbius.2. Consideremos la relación de equivalencia ∼ sobre el planoR 2 definida por(x 0 , y 0 ) ∼ (x 1 , y 1 ) si y sólo si x 2 0 + y 2 0 = x 2 1 + y 2 1.Observando con un poco de atención notaremos que dosputos del plano están relacionados mediante ∼, si y sólo sise encuentran a la misma distancia del origen. Entonces, la84
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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