Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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4. Si a ∈ A y si B(a) es un sistema fundamental de vecindadesde a en X, entonces {U ∩ A : U ∈ B(a)} es un sistemafundamental de vecindades de a en A.5. Si E ⊂ A y denotamos por Int A E el interior de E en A ypor Int X E el interior de E en X, entonces Int A E ⊃Int X E∩A.6. Si E ⊂ A y denotamos por Fr A E la frontera de E en A y porFr X E la frontera de E en X, entonces Fr A E ⊂Fr X E ∩ A.Ejercicios59
Capítulo 3Funciones continuasEn este capítulo estudiaremos las funciones continuas definidasentre espacios topológicos, así como algunas de sus principalespropiedades.3.1. Funciones continuasEn el Capítulo 1 utilizamos la noción de continuidad de funcionesde R en R estudiada en Análisis Real para definir funcionescontinuas entre espacios métricos. Vimos que si (X, d) y(Y, m) son espacios métricos, una función f : X −→ Y es continuaen un punto x 1 ∈ X si y sólo si para cada ɛ > 0 existeδ > 0 tal que d(x 1 , x 2 ) < δ implica m(f(x 1 ), f(x 2 )) < ɛ. Se diceque f es continua si es continua en cada punto x ∈ X.Una observación cuidadosa nos muestra que la función f : X −→Y es continua si y sólo si para cada subconjunto abierto O deY , el conjunto f −1 (O) es abierto en X.Utilizaremos esta última propiedad para definir lo que es unafunción continua entre dos espacios topológicos.60
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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Page 48 and 49: 1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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En los espacios 1-enumerables, las
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3. Cualquier subespacio de un espac
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c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
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d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
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Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
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e) Dé un contraejemplo que muestre
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
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Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
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Ejercicios 2.21. Describa todas las
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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a) Sean τ la topología usual sobr
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9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
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Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
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Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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