Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y tiene la topología grosera entonces latopología inicial sobre un conjunto X inducida por una funciónf : X −→ Y es la topología grosera.2. Suponga que Y tiene la topología discreta.a) Pruebe que la topología inicial sobre un conjunto Xinducida por una función uno a uno f : X −→ Y es latopología discreta.b) ¿Qué ocurre si f no es uno a uno?3. Considere la topología de los complementos contables definidasobre el conjunto de los números reales. ¿Cuál es latopología inicial sobre Q inducida por la inclusión de Qen R?4. Resuelva el ejercicio anterior pero considerando R Q enlugar de Q.5. Considere la topología de las colas a la derecha definidasobre el conjunto de los números enteros. ¿Cuál es latopología inicial sobre R inducida por la función parte entera,x ↦−→ [x] : R −→ Z?6. Considere la topología usual sobre el conjunto de los númerosreales. ¿Cuál es la topología inicial sobre R 2 inducida porla función que aplica a cada punto del plano en su distanciausual al origen?7. Sean (Y, d) un espacio métrico y f : X −→ Y una función.Definimos la función m : X × X −→ R por m(x 1 , x 2 ) =d(f(x 1 ), f(x 2 )).157
a) Demuestre que m es una métrica sobre X si y sólo si fes uno a uno; y que en caso de no serlo, m resulta seruna seudométrica sobre X.b) Compare la topología generada por m sobre X con latopología inicial inducida por f.Regresar158
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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clase de equivalencia de un punto (
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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menos que cada conjunto unitario en
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
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Page 166 and 167: 6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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Page 172 and 173: Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
Page 174 and 175: Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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