Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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como el radio de las vecindades escogidas, en realidad esta distanciaes el mayor radio posible para construir vecindades decada uno de los puntos que no contengan al otro. Sin embargo,cualquier número real positivo menor que d(x, y) serviría paranuestros propósitos. Si en particular consideramos un númerod(x, y)positivo r ≤ entonces B(x, r) es una vecindad de x que2no contiene a y, B(y, r) es una vecindad de y que no contiene ax y además estas vecindades tienen la propiedad adicional de nocontener puntos en común. En otras palabras, dos puntos distintosde un espacio métrico se pueden “separar” con vecindadesabiertas disyuntas. En esta sección estudiaremos los espacios quetienen esta misma propiedad.5.2.1 Definición. Un espacio topológico X es un espacio deHausdorff, o T 2 , si para cada x y cada y en X, con x ≠ y,existen V y W vecindades de x y y respectivamente, de talmanera que V ∩ W = ∅.Los espacios de Hausdorff se acostumbran también a llamar espaciosseparados.5.2.2 Ejemplos.1. Todos los espacios métricos son espacios de Hausdorff.2. Cualquier subespacio de un espacio de Hausdorff es un espaciode Hausdorff.3. Dada una familia (X i ) i∈I de espacios topológicos no vacíos,el producto ∏ i∈I X i es un espacio de Hausdorff si y sólo siX i es un espacio de Hausdorff para cada i ∈ I.93
Es inmediato que todo espacio de Hausdorff es también un espacioT 1 . Sin embargo, no todo espacio T 1 es un espacio deHausdorff. Por ejemplo, si τ es la topología de los complementosfinitos sobre un conjunto infinito X, entonces X es un espacioT 1 que no es un espacio de Hausdorff, puesto que en este espaciono existen dos conjuntos abiertos no vacíos que sean disyuntos.Las funciones continuas no preservan la propiedad de ser un espaciode Hausdorff. Es decir, existen funciones continuas definidasde un espacio de Hausdorff en un espacio que no lo es. Si X tienemás de un punto, la aplicación idéntica definida de X, con latopología discreta, en X, con la topología grosera, es un ejemploque ilustra esta situación.Aún así, las funciones continuas satisfacen propiedades importantesen presencia de espacios de Hausdorff. Una de ellas semuestra en la siguiente proposición.5.2.3 Proposición. Si f : X −→ Y es una función continuay Y es un espacio de Hausdorff, entonces el conjunto K ={(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2 )} es cerrado en X × X.Demostración. Si (x 1 , x 2 ) /∈ K, entonces f(x 1 ) ≠ f(x 2 ). ComoY es un espacio de Hausdorff, existen vecindades abiertas U yV de f(x 1 ) y f(x 2 ) respectivamente, de tal manera que U ∩V = ∅. La continuidad de f garantiza que f −1 (U) y f −1 (V ) sonvecindades abiertas de x 1 y x 2 respectivamente; y se tiene quef −1 (U) × f −1 (V ) es una vecindad abierta de (x 1 , x 2 ) en X × X,contenida en el complemento de K.La recíproca de la proposición anterior no es siempre cierta. Sif : X −→ Y es una función constante entonces el conjunto94
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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