Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos espacios topológicos y consideremosla topología inicial sobre el producto cartesiano X×Yinducida por las proyecciones canónicas π 1 : X × Y −→ X yπ 2 : X × Y −→ Y . Llamamos a esta topología la topologíaproducto sobre X × Y .Los conjuntos de la forma π1 −1 (A) ∩ π−1 2 (B) donde A y B sonsubconjuntos abiertos de X y Y , respectivamente, forman unabase para la topología definida sobre X × Y .Ahora bien, si A y B son subconjuntos abiertos de X y Y , respectivamente,entonces π1 −1 (A) ∩ π−1 2 (B) = A × B. Así, la topologíaproducto sobre X × Y se puede describir como la topología generadapor los conjuntos de la forma A × B donde A y B sonsubconjuntos abiertos de X y Y , respectivamente.75
4.2.2 Observación. En general, si X 1 , X 2 ,...,X n son espaciostopológicos, la topología producto sobre X 1 × X 2 ×, ..., ×X nes la topología inicial inducida por las funciones π i : X 1 ×X 2 ×, ..., ×X n −→ X i , i = 1, ..., n; y una base para esta topologíaestá dada por los conjuntos de la forma A 1 ×A 2 ×, ..., ×A n , dondeA i es un subconjunto abierto de X i para cada i = 1, ..., n.4.2.3 Ejemplos.1. La topología usual de R 2 es la topología producto sobre R ×R.2. La topología usual de R n es la topología producto sobre elproducto cartesiano R n .3. El producto de una familia finita de espacios métricos es unespacio métrico.Ejercicios4.3. Productos arbitrariosConsideremos ahora una familia arbitraria {X α } α∈Λ de espaciostopológicos. Recordemos que un elemento x del productocartesiano ∏ α∈Λ X ⋃α es una función x : Λ −→ ˙ Xα tal quex(α) = x α ∈ X α , para cada α ∈ Λ.Para cada α ∈ Λ, la proyección canónica π α : ∏ α∈Λ X α −→ X αestá definida por π α (x) = x α .76
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
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Ejercicios 2.21. Describa todas las
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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a) Sean τ la topología usual sobr
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9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
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Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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