Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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5. Demuestre que el espacio topológico X es un espacio deHausdorff si y sólo si la diagonal ∆ = {(x, x) : x ∈ X} escerrada en X × X. (Una demostración elegante se obtieneconsiderando la función idéntica de X en X y utilizandolos resultados de las proposiciones 5.2.3 y 5.2.4.)6. Demuestre que si f es una función continua y abierta de Xsobre Y , entonces Y es un espacio de Hausdorff si y sólo si{(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2 )} es cerrado en X × X.7. Demuestre que si f y g son funciones continuas definidasde X en Y y si Y es un espacio de Hausdorff, entonces elconjunto {x : f(x) = g(x)} es cerrado en X.8. Demuestre que si f y g son funciones continuas definidasde X en Y , si Y es un espacio de Hausdorff, y si f y gcoinciden en un subconjunto denso de X, entonces f = g.Regresar167
Ejercicios 5.31. Consideremos R con la topología τ = {∅, Q, R Q, R}.Pruebe que (R, τ) es un espacio regular que no es un espaciode Hausdorff.2. Pruebe que un espacio regular es un espacio de Hausdorffsi y sólo si es T 1 .3. Determine si el plano de Moore es o no un espacio regular.4. Sea τ la topología usual sobre el conjunto de los númerosreales y τ∗ = τ ∪ {Q ∪ U : U ∈ τ}.a) Pruebe que τ∗ es una topología sobre R.b) Demuestre que (R, τ∗) es un espacio de Hausdorff.c) Demuestre que (R, τ∗) no es regular. (Sugerencia: observeque Q es abierto en (R, τ∗) y que ningún puntode Q se puede separar de R Q con conjuntos abiertosdisyuntos.)5. Demuestre que todo subespacio de un espacio regular (resp.T 3 ) es un espacio regular (resp. T 3 ).6. Demuestre que un producto arbitrario de espacios regulares(resp. T 3 ) no vacíos es un espacio regular (resp. T 3 ), si ysólo si cada uno de los factores lo es.Regresar168
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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clase de equivalencia de un punto (
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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menos que cada conjunto unitario en
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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En los espacios 1-enumerables, las
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3. Cualquier subespacio de un espac
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