Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

esultados propios de los espacios métricos. Comenzaremos conel Primer Axioma de Enumerabilidad.5.7.1 Definición. Un espacio topológico X es 1-enumerable sicada punto x ∈ X tiene un sistema fundamental de vecindadesenumerable.5.7.2 Ejemplos.1. Todo espacio métrico (X, d) es 1-enumerable. En efecto,para cada x ∈ X la colección de bolas abiertas de la formaB(x, r), donde r es un número racional positivo, es unsistema fundamental de x enumerable.2. El Plano de Moore es un espacio 1-enumerable.3. El conjunto de los números reales con la topología generadapor los intervalos de la forma (a, b] es un espacio 1-enumerable.4. Cualquier subespacio de un espacio 1-enumerable es 1-enumerable.5. El producto de cualquier colección enumerable de espacios1-enumerables es 1-enumerable.5.7.3 Observación. Nótese que si X es 1-enumerable, si x ∈X, si (B n ) n∈N es un sistema fundamental de vecindades de xenumerable, y si consideramos V 1 = B 1 , V 2 = V 1 ∩ B 1 , V 3 =V 2 ∩ B 2 y de manera inductiva tomamos V n+1 = V n ∩ B n paracada n ∈ N, entonces (V n ) n∈N es un sistema fundamental devecindades de x enumerable que satisface que V n+1 ⊂ V n paracada n ∈ N.112