Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

2.2.1 Definición. Sea X un conjunto. Una colección τ de subconjuntosde X tal que1. el conjunto vacío ∅ y el conjunto X pertenecen a τ,2. si A, B ∈ τ entonces A ∩ B ∈ τ,3. la unión de cualquier familia de elementos de τ pertenecea τes una topología sobre X. Los elementos de la colección τ sellaman conjuntos abiertos y la pareja (X, τ), o simplemente Xsi no cabe duda sobre cuál es la colección τ, se llama un espaciotopológico.2.2.2 Ejemplos.1. Si X es un espacio métrico, la topología generada por lacolección de todas las bolas abiertas es una topología sobreX que se llama la topología métrica o la topología generadapor la métrica. Los espacios métricos son una importanteclase de espacios topológicos.La topología usual sobre R, y en general sobre R n , es latopología generada por la métrica usual.Si la topología sobre un espacio X está generada por unamétrica decimos que X es un espacio metrizable.2. Sea X un conjunto cualquiera. La colección P(X) de todoslos subconjuntos de X es una topología sobre X que recibeel nombre de topología discreta. El espacio (X, P(X)) sellama espacio discreto. Nótese que esta topología está generadapor la métrica discreta sobre X.30