Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Ejercicios5.4. Espacios completamente regulares y Espaciosde TychonoffHasta ahora hemos estudiado la posibilidad de que dos puntosdistintos de un espacio topológico, o un conjunto cerrado y unpunto fuera del conjunto, se puedan separar utilizando conjuntosabiertos disyuntos. En esta sección veremos que hay espaciostopológicos en los que un conjunto cerrado y un punto fueradel conjunto se pueden separar utilizando una función continuadefinida del espacio en un intervalo cerrado en R.5.4.1 Ejemplo. Sea (X, m) un espacio métrico, K un subconjuntocerrado de X y x ∈ X K. Hemos definido la distanciam(y, K) de un punto y ∈ X al conjunto K como el ínfimode las distancias de y a los puntos de K, en otras palabrasm(y, K) = inf{m(y, k) : k ∈ K}.Consideremos la métrica d definida en X pord(y, z) = mín{m(y, z), m(x, K)}.La función d es una métrica sobre X equivalente a m (nóteseque m(x, K) > 0); y en la Proposición 1.2.3 se demostró lacontinuidad de la función y ↦−→ d(y, K) : X −→ R, luego lacorrestricción f de esta función al intervalo [0, m(x, K)] tambiénes continua. Además, f(k) = 0 para todo k ∈ K y f(x) =m(x, K) > 0.En este sentido, la función continua f nos permitió separar elpunto x del conjunto cerrado K.99