Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

1. Sea X un conjunto dotado con la topología grosera. EntoncesX es un espacio regular, puesto que no existen unconjunto cerrado K en X y un punto de X fuera de K queno se puedan separar con conjuntos abiertos disyuntos. Porotro lado, a menos que X no tenga más de un punto, X noes un espacio de Hausdorff.2. Consideremos R con la topología τ = {∅, Q, R Q, R}.Entonces (R, τ) es un espacio regular que no es un espaciode Hausdorff.Para que un espacio regular X sea un espacio de Hausdorff esnecesario y suficiente que los subconjuntos unitarios del espaciosean conjuntos cerrados. En otras palabras, un espacio regulares un espacio de Hausdorff si y sólo si es T 1 . Los espacios que sonsimultáneamente regulares y T 1 reciben un tratamiento especial.5.3.4 Definición. Un espacio topológico es T 3 si es regular yT 1 .Ahora tenemos que todo espacio T 3 es también un espacio T 2 .Sin embargo, existen espacios de Hausdorff que no son espaciosregulares y por lo tanto, que no son T 3 .5.3.5 Ejemplo. Sea τ la topología usual sobre el conjunto de losnúmeros reales y τ∗ = τ ∪ {Q ∪ U : U ∈ τ}. Se tiene que τ∗ esuna topología sobre R y que (R, τ∗) es un espacio de Hausdorffque no es regular.La siguiente proposición nos provee de dos caracterizaciones delos espacios regulares.97