Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

De manera recíproca, supongamos que f : X −→ Y esuna función tal que para cada sucesión (x n ) n∈N en X queconverge a un punto x, la sucesión (f(x n )) n∈N converge af(x) en Y y sea x ∈ X. Sea (V n ) n∈N un sistema fundamentalde vecindades de x enumerable que satisface que V n+1 ⊂ V npara cada n ∈ N. Si f no es continua en x, existe unavecindad W de f(x) tal que para cada n ∈ N, f(a n ) /∈ Wpara algún a n ∈ V n . La sucesión (a n ) n∈N converge a x, pero(a n ) n∈N no converge a f(x). Esto contradice la hipótesis,luego f es continua en x para todo x ∈ X.Estudiaremos ahora el Segundo Axioma de Enumerabilidad.5.7.5 Definición. Un espacio topológico X es 2-enumerable siexiste una base enumerable para la topología de X.Es inmediato que todo espacio 2-enumerable es 1-enumerable.Pero no todo espacio 1-contable es 2-contable, aún en el caso delos espacios métricos.Veamos algunos ejemplos.5.7.6 Ejemplos.1. El Plano de Moore no es un espacio 2-enumerable.2. El conjunto de los números reales con la topología usual esun espacio 2-enumerable.114