Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Nótese que si (X, d) es un espacio métrico y A ⊂ X entoncesd(x, A) = 0 para todo x ∈ A; pero que d(x, A) = 0 no implicaque x sea un elemento de A. Si consideramos por ejemplo elconjunto R de los números reales con la métrica usual y A ={ 1 n: n ∈ N} entonces d(0, A) = 0 y 0 /∈ A.1.1.4 Definición. Sea (X, d) un espacio métrico. Si A esun subconjunto de X entonces el diámetro de A, diam A essup{d(x, y) : x, y ∈ A}. Si diam A < ∞ entonces decimos queel conjunto A es acotado.De la definición se tiene que el espacio métrico X es acotado si lafunción d es acotada. Las condiciones que debe satisfacer la funcióndistancia d en un espacio métrico X son bastante rigurosas.En ocasiones una función d : X ×X −→ R, pudiendo no ser unamétrica en el sentido estricto, permite hablar de “distancia” losuficientemente bien para algunos propósitos.1.1.5 Definición. Sea X un conjunto. Una función ρ : X ×X −→ R tal que1. ρ(x, y) ≥ 0,2. ρ(x, x) = 0,3. ρ(x, y) = ρ(y, x) y4. ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)para cada x, cade y y cada z en X, se llama una seudométricasobre X. Si ρ es una seudométrica sobre X decimos que (X, ρ)(o simplemente X) es un espacio seudométrico.18