Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Si X es un espacio topológico y A ⊂ X, entonces A ⊂ A.Además resulta también inmediato que si A ⊂ B entonces A ⊂B.El siguiente resultado nos permite hacer otra presentación de laadherencia de un conjunto.2.5.3 Proposición. Si X un espacio topológico y A ⊂ X entoncesA = ⋂ {K ⊂ X : K es cerrado y A ⊂ K}.Demostración.1. Si x ∈ A y K es un subconjunto cerrado de X que contienea A entonces x ∈ K, pues de lo contrario existiríauna vecindad V de x con V ⊂ K c , lo cual implicaría queV no contiene puntos de A. Entonces x ∈ ⋂ {K ⊂ X :K es cerrado y A ⊂ K}.2. Por otro lado, si x /∈ A existe una vecindad abierta V dex sin puntos en común con A, entonces V c es un conjuntocerrado tal que A ⊂ V c y x /∈ V c . Esto significa que x /∈⋂ {K ⊂ X : K es cerrado y A ⊂ K}.Algunas de las más importantes propiedades de la adherencia seresumen en el siguiente resultado.2.5.4 Proposición. Sea X un espacio topológico.1. A = A para cada A ⊂ X.45