Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Capítulo 3Funciones continuasEn este capítulo estudiaremos las funciones continuas definidasentre espacios topológicos, así como algunas de sus principalespropiedades.3.1. Funciones continuasEn el Capítulo 1 utilizamos la noción de continuidad de funcionesde R en R estudiada en Análisis Real para definir funcionescontinuas entre espacios métricos. Vimos que si (X, d) y(Y, m) son espacios métricos, una función f : X −→ Y es continuaen un punto x 1 ∈ X si y sólo si para cada ɛ > 0 existeδ > 0 tal que d(x 1 , x 2 ) < δ implica m(f(x 1 ), f(x 2 )) < ɛ. Se diceque f es continua si es continua en cada punto x ∈ X.Una observación cuidadosa nos muestra que la función f : X −→Y es continua si y sólo si para cada subconjunto abierto O deY , el conjunto f −1 (O) es abierto en X.Utilizaremos esta última propiedad para definir lo que es unafunción continua entre dos espacios topológicos.60