Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Esto implica que la topologíausual sobre R 2 es menos finaque la topología generada porla métrica del taxista.Además se tiene que{(x, y) : √ √ }2ɛ(x − x 1 ) 2 + (y − y 1 ) 2
2. Si z es un punto en una bola abierta en R 2 con la topologíausual, para cada posible dirección existe un segmento abiertode linea en esta dirección, que contiene a z y que está contenidoen la bola. Esto implica que la topología usual de R 2es menos fina que la topología radial.Ejercicios2.3. VecindadesAhora estamos en capacidad de definir el concepto de vecindadde un punto en un espacio topológico.2.3.1 Definición. Sean X un espacio topológico y x ∈ X. Unsubconjunto V de X es una vecindad de x si existe un conjuntoabierto A tal que x ∈ A y A ⊂ V . Denotamos por V(x) elconjunto de todas las vecindades de x.Nótese que un subconjunto A de un espacio topológico X es unconjunto abierto si y sólo si A es vecindad de cada uno de suspuntos.El siguiente resultado resume las propiedades más importantesde las vecindades.2.3.2 Proposición. Sea (X, τ) un espacio topológico.1. x ∈ V para cada V ∈ V(x).34
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Page 36 and 37: 2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
Page 38 and 39: 3. Si A es una familia de conjuntos
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Page 48 and 49: 1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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Page 54 and 55: 2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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De manera recíproca, Si O es un su
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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En los espacios 1-enumerables, las
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3. Cualquier subespacio de un espac
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c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
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d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
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Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
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e) Dé un contraejemplo que muestre
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
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Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
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Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
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Ejercicios 2.21. Describa todas las
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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a) Sean τ la topología usual sobr
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9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Ejercicios 2.71. Demuestre la Propo
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7. Utilice el ejercicio anterior pa
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Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
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Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
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Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
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Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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