Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

More documents

Recommendations

Info

Nótese que en un espacio seudométrico (X, ρ) pueden existirpuntos distintos x y y con ρ(x, y) = 0.1.1.6 Ejemplos.1. Toda métrica sobre un conjunto X es también una seudométrica.2. Si X es un conjunto entonces la función ρ : X × X −→ Rdefinida por ρ(x, y) = 0 es una seudométrica sobre X.3. Sea x 0 ∈ [0, 1]. La función η : C(I) × C(I) −→ R definidapor η(f, g) = |f(x 0 −g(x 0 )| es una seudométrica sobre C(I).Ejercicios1.2. Funciones continuasSin duda el concepto más útil e importante en el estudio de losespacios métricos, seudométricos y en general de los espaciostopológicos es el concepto de continuidad.1.2.1 Definición. Sean (X, ρ) y (Y, η) espacios métricos (resp.seudométricos). Una función f : X −→ Y es continua en unpunto x 0 ∈ X si dado ɛ > 0 existe δ > 0 tal que si ρ(x, x 0 ) < δ,entonces η(f(x), f(x 0 )) < ɛ.Si la función f es continua en cada punto de X decimos simplementeque f es continua.Los siguientes son ejemplos típicos de funciones continuas.19
1.2.2 Ejemplos.1. Si (X, d) es un espacio métrico entonces Id X : X −→ X,la función idéntica de X, es continua. En efecto, si x 0 ∈ Xy si ɛ es un número real positivo y consideramos δ = ɛentonces d(x, x 0 ) < δ implica d(Id X (x), Id X (x 0 )) < ɛ.2. Si (X, ρ) y (Y, η) son espacios métricos y si k ∈ Y es unpunto arbitrario pero fijo de Y , entonces la función constantef : X −→ Y de valor k es una función continua.Para demostrar esto basta observar que si x 0 ∈ X, si ɛ > 0y si δ es un número real arbitrario, entonces ρ(x, x 0 ) < δimplica η(f(x), f(x 0 )) = η(k, k) = 0 < ɛ.El siguiente resultado muestra la continuidad de una funciónpoco mencionada hasta ahora.1.2.3 Proposición. Sean (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X,A ≠ ∅. La función de X en los números reales definida porx ↦−→ d(x, A) es continua.Demostración. Sean x 0 ∈ X y ɛ > 0. Escogemos 0 < γ < ɛ ytomamos δ = γ 2 . Si d(x, x 0) < δ y si a ∈ A es un punto tal qued(x 0 , a) < d(x 0 , A) + δ se tiene:d(x, A) ≤ d(x, a)≤ d(x, x 0 ) + d(x 0 , a)< 2δ + d(x 0 , A)= γ + d(x 0 , A)< ɛ + d(x 0 , A).20
Page 1 and 2: Notas de TopologíaClara M. Neira U
Page 3 and 4: elementos del conjunto A pertenecen
Page 5 and 6: Además se satisfacen las siguiente
Page 7 and 8: 0.3. Uniones e intersecciones arbit
Page 9 and 10: 1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
Page 11 and 12: 0.6. Productos arbitrariosHasta aho
Page 13 and 14: 1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
Page 15 and 16: |X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
Page 18 and 19: eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
Page 22 and 23: De la misma forma si se escoge b
Page 24 and 25: Una de las propiedades más bonitas
Page 26 and 27: Consideremos un espacio métrico X.
Page 28 and 29: Capítulo 2Espacios TopológicosLa
Page 30 and 31: La colección de todos los conjunto
Page 32 and 33: 3. Sea X un conjunto cualquiera. La
Page 34 and 35: Esto implica que la topologíausual
Page 36 and 37: 2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
Page 38 and 39: 3. Si A es una familia de conjuntos
Page 40 and 41: un conjunto X con las propiedades
Page 42 and 43: 3.Para cada punto z del planodefini
Page 44 and 45: La unión arbitraria de conjuntos c
Page 46 and 47: Si X es un espacio topológico y A
Page 48 and 49: 1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
Page 50 and 51: 3. Si X es un conjunto infinito y p
Page 52 and 53: 2.7. Interior, exterior y frontera
Page 54 and 55: 2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
Page 56 and 57: 2. En R con topología usual, la fr
Page 58 and 59: subespacio de X. Esto es, considera
Page 60 and 61: 4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
Page 62 and 63: 3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
Page 64 and 65: 3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
Page 66 and 67: 3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
Page 68 and 69: X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
Page 70 and 71:
de los espacios tienen su contrapar
Page 72 and 73:
La inclusión de un subespacio en u
Page 74 and 75:
La colección B de todas las inters
Page 76 and 77:
4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
Page 78 and 79:
4.3.1∏Definición. Definimos la t
Page 80 and 81:
En cualquier caso, α −1 (πA −
Page 82 and 83:
4.4. Estructuras finales - Topolog
Page 84 and 85:
De manera recíproca, Si O es un su
Page 86 and 87:
clase de equivalencia de un punto (
Page 88 and 89:
2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
Page 90 and 91:
5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
Page 92 and 93:
5.1.3 Definición. Un espacio topol
Page 94 and 95:
como el radio de las vecindades esc
Page 96 and 97:
K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
Page 98 and 99:
1. Sea X un conjunto dotado con la
Page 100 and 101:
Ejercicios5.4. Espacios completamen
Page 102 and 103:
menos que cada conjunto unitario en
Page 104 and 105:
tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
Page 106 and 107:
5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
Page 108 and 109:
1. El conjunto U 1 es un conjunto a
Page 110 and 111:
5.6.3 Definición. Sean A ⊂ X y f
Page 112 and 113:
cada i = 1, ..., N, escogemos una v
Page 114 and 115:
En los espacios 1-enumerables, las
Page 116 and 117:
3. Cualquier subespacio de un espac
Page 118 and 119:
c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
Page 120 and 121:
d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
Page 122 and 123:
Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
Page 124 and 125:
e) Dé un contraejemplo que muestre
Page 126 and 127:
)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
Page 128 and 129:
h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
Page 130 and 131:
Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
Page 132 and 133:
g) En el conjunto C(I) de todas las
Page 134 and 135:
Ejercicios 1.21. Demuestre que si X
Page 136 and 137:
Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
Page 138 and 139:
Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
Page 140 and 141:
Ejercicios 2.21. Describa todas las
Page 142 and 143:
7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
Page 144 and 145:
a) Sean τ la topología usual sobr
Page 146 and 147:
9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
Page 148 and 149:
Ejercicios 2.61. Explique clarament
Page 150 and 151:
Ejercicios 2.71. Demuestre la Propo
Page 152 and 153:
Ejercicios 2.81. Demuestre que cual
Page 154 and 155:
7. Utilice el ejercicio anterior pa
Page 156 and 157:
Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
Page 158 and 159:
Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
Page 160 and 161:
Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
Page 162 and 163:
Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
Page 164 and 165:
Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
Page 166 and 167:
6. Pruebe que el espacio de Sierpin
Page 168 and 169:
5. Demuestre que el espacio topoló
Page 170 and 171:
Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
Page 172 and 173:
Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
Page 174 and 175:
Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
show all

Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?