Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sierpinski, X = {0, 1} con la topología{∅, {0}, {0, 1}}, es un espacio T 0 . Los únicos puntos distintosentre sí son 0 y 1; y {0} es una vecindad de 0 queno contiene a 1.2. Sea d una seudométrica sobre un conjunto X. La funciónd es una métrica si y sólo si el espacio topológico generadoes T 0 . En efecto, si d es una métrica y x, y son puntosdistintos de X, entonces d(x, y) > 0, luego la bola abiertaB (x, d(x, y)) es una vecindad de x que no contiene a y. Demanera recíproca, si X es T 0 y x, y son puntos distintosde X, entonces existe una vecindad de uno de los puntos,digamos de x, que no contiene al otro. Esto significa queexiste ɛ > 0 tal que y /∈ B(x, ɛ), lo cual a su vez implicaque d(x, y) ≥ ɛ > 0.3. Cualquier conjunto X con la topología de complementosfinitos es un espacio T 0 .4. Cualquier conjunto X totalmente ordenado, con la topologíade las colas a la derecha es un espacio T 0 .5. Si X es un conjunto con más de un punto y topología grosera,entonces X no es un espacio T 0 .6. Si Y es un subespacio de un espacio T 0 , entonces Y tambiénes un espacio T 0 . En efecto, si x y y son puntos distintos deY , existe una vecindad V de uno de los puntos, digamos dex, en X, tal que y /∈ V . Se tiene que V ∩Y es una vecindadde x en Y y y /∈ V ∩ Y .89