Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

A α ; pero como A α es abierto en X, entonces f −1 (O)∩A α tambiénes abierto en X. Ahora bien, f −1 (O) = ⋃ α∈Λ f −1 (O)∩A α , luegof −1 (O) es abierto y f es continua.Si los elementos de la colección {A α } α∈Λ no son conjuntos abiertos,es posible que no se pueda concluir la continuidad de lafunción f. Por ejemplo la función f : R −→ R definida por{0 si x ∈ Qf(x) =1 si x /∈ Q.no es continua en ningún punto de R aunque su restricción acada subconjunto unitario de R sí lo es.La anterior observación muestra que f puede no ser continuaaunque cada elemento de la familia {A α } α∈Λ tenga la propiedadde ser un conjunto cerrado y f ↾ Aα sea continua para cada α ∈ Λ.Un resultado análogo al presentado en la proposición 3.1.9 setiene cuando {A α } α∈Λ es una colección finita de subconjuntoscerrados de X.3.1.10 Proposición. Si {A i } i=1,...,n es una familia finita de subconjuntoscerrados de X cuya unión es X, entonces una funciónf : X −→ Y es continua si y sólo si su restricción a cada A i escontinua.Demostración. Nuevamente, si f : X −→ Y es continua, entoncessu restricción a cada A i es continua.Sea K un subconjunto cerrado de Y . Para cada i = 1, ..., n elconjunto f ↾ −1A i(K) = f −1 (K) ∩ A i es cerrado en A i ; pero comoA i es cerrado en X, entonces f −1 (K) ∩ A i también es cerrado en66