Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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3.Para cada punto z del planodefinimos las vecindades básicasde z como los conjuntos de laforma {z} ∪ A donde A es unabola abierta usual, centrada enz, de la cual se ha removido unnúmero finito de segmentos delinea que pasan por z.El espacio topológico que se obtiene se llama plano ranurado.4. Para cada número real x distinto de 0 definimos B(x) comolos intervalos abiertos centrados en x mientras que los elementosde B(0) serán los conjuntos de la forma (−∞, −n)∪(−ɛ, ɛ) ∪ (n, ∞) donde n ∈ N y ɛ > 0.5. Consideremos el conjunto R I de todas las funciones definidasdel intervalo I = [0, 1] en R. Definimos las vecindadesbásicas de f ∈ R I como los conjuntos de la forma U(f, F, δ) ={g ∈ R I : |g(x) − f(x)| < δ, para cada x ∈ F } donde F esun subconjunto finito de I y δ > 0.Ejercicios2.4. Conjuntos cerradosLigado íntimamente con el concepto de conjunto abierto en unespacio topológico, está el concepto de conjunto cerrado.41
2.4.1 Definición. Sea X un espacio topológico. Un subconjuntoF de X es un conjunto cerrado en X si su complemento,F c , es un conjunto abierto.Hacemos notar que el conjunto vacío y el mismo conjunto X sona la vez abiertos y cerrados y que un subconjunto de X puede noser abierto ni cerrado como sucede por ejemplo con el conjunto{1} en el espacio de Sierpinski.La siguiente proposición establece algunas de las más importantespropiedades de los conjuntos cerrados.2.4.2 Proposición. Sea X un espacio topológico.1. ∅ y X son conjuntos cerrados.2. Si F y K son conjuntos cerrados entonces F ∪ K es unconjunto cerrado.3. Si C es una familia de conjuntos cerrados entonces ⋂ F ∈C Fes un conjunto cerrado.Demostración.1. Que ∅ y X son conjuntos cerrados es una consecuencia inmediatade la definición.2. Por las Leyes de De Morgan, (F ∪ K) c = F c ∩ K c que esun conjunto abierto porque así lo son F c y K c .3. Nuevamente por las Leyes de De Morgan, (⋂ F ∈C F ) c=⋃F ∈C F c que es también un conjunto abierto.42
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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Ejercicios 2.21. Describa todas las
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