Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

2.3.5 Ejemplos.1. Sean X un espacio topológico y x ∈ X. La colección de todaslas vecindades abiertas de x es un sistema fundamentalde vecindades de x.2. Si X es un espacio topológico discreto y x ∈ X entonces elconjunto cuyo único elemento es {x} es un sistema fundamentalde vecindades de x.3. Si X es un espacio métrico y x ∈ X, el conjunto de todaslas bolas abiertas centradas en x es un sistema fundamentalde vecindades de x. También lo es el conjunto de todas lasbolas abiertas con radio racional, centradas en x.De la definición se infiere que si X es un espacio topológico ypara cada x ∈ X la colección B(x) es un sistema fundamentalde vecindades de x entonces:1. Si V ∈ B(x), entonces x ∈ V .2. Si V 1 , V 2 ∈ B(x), entonces existe V 3 ∈ B(x) tal que V 3 ⊂V 1 ∩ V 2 .3. Si V ∈ B(x), existe U ∈ B(x) tal que si y ∈ U entoncesW ⊂ V para algún W ∈ B(y).4. Un subconjunto A de X es abierto si y sólo si contiene unavecindad básica de cada uno de sus puntos.Al igual que sucede con las bases para una topología y conlas colecciones de vecindades, colecciones de subconjuntos de38