Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

En los espacios 1-enumerables, las sucesiones permiten caracterizarla adherencia de un conjunto, así como las funciones continuasque tienen como dominio uno de estos espacios.5.7.4 Proposición. Sea X un espacio 1-enumerable.1. Si A ⊂ X entonces x ∈ A si y sólo si existe una sucesiónde elementos de A que converge a x.2. Una función f : X −→ Y es continua si y sólo si paracada sucesión (x n ) n∈N en X que converge a un punto x lasucesión (f(x n )) n∈N converge a f(x) en Y .Demostración.1. Supongamos que x ∈ A y sea (V n ) n∈N un sistema fundamentalde vecindades de x enumerable que satisface queV n+1 ⊂ V n para cada n ∈ N. Se tiene que para cada n ∈ Nexiste a n ∈ A ∩ V n . La sucesión (a n ) n∈N tiene todos sustérminos en A y converge a x.Recíprocamente, si (a n ) n∈N es una sucesión en A que convergea x, entonces dada V una vecindad cualquiera de x,existe N > 0 tal que si n > N, a n ∈ V . Entonces A∩V ≠ ∅y x ∈ A.2. Supongamos que f : X −→ Y es una función continua,que (x n ) n∈N es una sucesión en X que converge a un puntox ∈ X y sea V una vecindad de f(x). La continuidad def garantiza que f −1 (V ) es una vecindad de x, luego existeN > 0 tal que para cada n > N, x n ∈ f −1 (V ). Esto es, paracada n > N, f(x n ) ∈ V . Entonces, la sucesión (f(x n )) n∈Nconverge a f(x).113