Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Es inmediato que todo espacio de Hausdorff es también un espacioT 1 . Sin embargo, no todo espacio T 1 es un espacio deHausdorff. Por ejemplo, si τ es la topología de los complementosfinitos sobre un conjunto infinito X, entonces X es un espacioT 1 que no es un espacio de Hausdorff, puesto que en este espaciono existen dos conjuntos abiertos no vacíos que sean disyuntos.Las funciones continuas no preservan la propiedad de ser un espaciode Hausdorff. Es decir, existen funciones continuas definidasde un espacio de Hausdorff en un espacio que no lo es. Si X tienemás de un punto, la aplicación idéntica definida de X, con latopología discreta, en X, con la topología grosera, es un ejemploque ilustra esta situación.Aún así, las funciones continuas satisfacen propiedades importantesen presencia de espacios de Hausdorff. Una de ellas semuestra en la siguiente proposición.5.2.3 Proposición. Si f : X −→ Y es una función continuay Y es un espacio de Hausdorff, entonces el conjunto K ={(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2 )} es cerrado en X × X.Demostración. Si (x 1 , x 2 ) /∈ K, entonces f(x 1 ) ≠ f(x 2 ). ComoY es un espacio de Hausdorff, existen vecindades abiertas U yV de f(x 1 ) y f(x 2 ) respectivamente, de tal manera que U ∩V = ∅. La continuidad de f garantiza que f −1 (U) y f −1 (V ) sonvecindades abiertas de x 1 y x 2 respectivamente; y se tiene quef −1 (U) × f −1 (V ) es una vecindad abierta de (x 1 , x 2 ) en X × X,contenida en el complemento de K.La recíproca de la proposición anterior no es siempre cierta. Sif : X −→ Y es una función constante entonces el conjunto94