Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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La colección de todos los conjuntos abiertos en X es la topologíasobre X generada por B. Esta definición justifica el término“base para una topología” sobre X.Nótese que, al igual que en los espacios métricos, la topologíasobre X generada por B tiene las siguientes propiedades:1. El conjunto vacío ∅ y el conjunto X son conjuntos abiertos.2. Si A y B son conjuntos abiertos en X entonces A ∩ B es unconjunto abierto en X.3. La unión de cualquier familia de conjuntos abiertos en Xes un conjunto abierto en X.Ejercicios2.2. Espacios topológicosEn realidad, para estudiar conceptos topológicos no siempre partimosde una base para una topología sobre un conjunto X. Confrecuencia tenemos como punto de partida la colección de todoslos conjuntos abiertos. Trabajaremos entonces con la siguientedefinición:29
2.2.1 Definición. Sea X un conjunto. Una colección τ de subconjuntosde X tal que1. el conjunto vacío ∅ y el conjunto X pertenecen a τ,2. si A, B ∈ τ entonces A ∩ B ∈ τ,3. la unión de cualquier familia de elementos de τ pertenecea τes una topología sobre X. Los elementos de la colección τ sellaman conjuntos abiertos y la pareja (X, τ), o simplemente Xsi no cabe duda sobre cuál es la colección τ, se llama un espaciotopológico.2.2.2 Ejemplos.1. Si X es un espacio métrico, la topología generada por lacolección de todas las bolas abiertas es una topología sobreX que se llama la topología métrica o la topología generadapor la métrica. Los espacios métricos son una importanteclase de espacios topológicos.La topología usual sobre R, y en general sobre R n , es latopología generada por la métrica usual.Si la topología sobre un espacio X está generada por unamétrica decimos que X es un espacio metrizable.2. Sea X un conjunto cualquiera. La colección P(X) de todoslos subconjuntos de X es una topología sobre X que recibeel nombre de topología discreta. El espacio (X, P(X)) sellama espacio discreto. Nótese que esta topología está generadapor la métrica discreta sobre X.30
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Page 48 and 49: 1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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De manera recíproca, Si O es un su
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clase de equivalencia de un punto (
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Ejercicios5.4. Espacios completamen
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tal que B(b, δ b ) ∩ A = ∅. El
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5.5.7 Ejemplos.1. El Plano de Moore
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1. El conjunto U 1 es un conjunto a
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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En los espacios 1-enumerables, las
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3. Cualquier subespacio de un espac
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c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
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d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
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Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
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e) Dé un contraejemplo que muestre
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 0.81. Demuestre que Q es
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g) En el conjunto C(I) de todas las
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Ejercicios 1.31. Sea X un espacio m
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Ejercicios 2.11. Pruebe que la cole
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Ejercicios 2.21. Describa todas las
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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a) Sean τ la topología usual sobr
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9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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7. Utilice el ejercicio anterior pa
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Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
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6. Pruebe que el espacio de Sierpin
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5. Demuestre que el espacio topoló
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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