Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

1. El conjunto U 1 es un conjunto abierto en X tal que A ⊂ U 1 2 2y U 1 ∩ B = ∅. Tal conjunto existe por la normalidad de X.22. Puesto que A y X U 12disyuntos y además U 12son conjuntos no vacíos, cerrados yy B son también no vacíos, cerradostales quey disyuntos, existen conjuntos abiertos U 14 y U 3 4A ⊂ U 14 , U 1 4 ⊂ U 1 2 , U 1 2 ⊂ U 3 4 , y U 3 4 ∩ B = ∅.3. Ahora supongamos que se han definido conjuntos U k2 n , k =1, ..., 2 n − 1 de tal manera queA ⊂ U 1 , ..., U ⊂ U , ..., U k−12n 2 n k2 n 2n −1 ∩ B = ∅.2 nLa normalidad de X garantiza que se puede continuar con elproceso y encontrar conjuntos U , para k = 1, ..., k2n+1 −12con las mismas propiedades. De manera n+1 inductiva, se tieneque para cada número racional r de la forma r = k 2n, paraalgún n > 0 y k = 1, ..., 2 n − 1 (un número racional deesta forma se llama racional diádico), se puede construirun conjunto abierto U r de tal manera que:a) A ⊂ U r y U r ∩ B = ∅ para cada racional diádico r,b) U r ⊂ U s siempre que r < s.4. Definimos la función f : X −→ [0, 1] de la siguiente manera:⎧⎪⎨ 1 si x /∈ U r para cada racionalf(x) =diádico r,⎪⎩inf{r : x ∈ U r } en caso contrario.5. Veamos que f es una función continua. Sea x ∈ X.107