Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Ejercicios 1.21. Demuestre que si X tiene la métrica discreta y Y es un espaciométrico cualquiera, entonces cualquier función definidade X en Y es continua. ¿Qué ocurre si Y es un espacioseudométrico?2. Demuestre que si X es un espacio métrico cualquiera y Ytiene la seudométrica definida por d(w, z) = 0 para todo w ytodo z en Y , entonces cualquier función definida de X en Yes continua. ¿Qué ocurre si X es un espacio seudométrico?3. De un ejemplo de dos métricas d 1 y d 2 , definidas sobre unmismo conjunto X, de tal manera que la función idénticade (X, d 1 ) en (X, d 2 ) no resulte continua.4. Suponga que d 1 y d 2 son dos métricas definidas sobre unmismo conjunto X. Si toda función definida de (X, d 1 ) en(X, d 2 ) es continua, ¿qué puede afirmar con seguridad ded 1 y d 2 ? Demuestre su conjetura.5. Dos espacios métricos (X, d) y (Y, m) son isométricos siexiste una función biyectiva f : X −→ Y tal qued(x 1 , x 2 ) = m(f(x 1 ), f(x 2 ))para cada x 1 y cada x 2 en X. La función f se llama unaisometría.a) Pruebe que si f : X −→ Y es una isometría, entoncesf y f −1 son funciones continuas.b) Pruebe que el intervalo [0, 1] es isométrico a cualquierotro intervalo cerrado de R de la misma longitud.133