Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

4.3.1∏Definición. Definimos la topología producto sobreα∈Λ X α como la topología inicial inducida por la familia{π α } α∈Λ de proyecciones canónicas.Consideremos la colecciónS = {π −1α (O) : α ∈ Λ y O es abierto en X α }y recordemos que la familia B de todas las intersecciones finitasde elementos de S es una base para la topología producto.Entonces, un conjunto abierto básico tiene la forma⋂i=1,...,nπ −1α i(O αi ) = {x ∈ ∏ α∈ΛX α : x αi ∈ O αi para todo i = 1, ..., n}= ∏ α∈ΛA α donde A α es abierto en X α para todo α ∈ Λ,A αi = O αi , i = 1, ..., n y A α = X α si α ≠ α i , i = 1, ..., n.Así, un conjunto abierto básico de la topología producto es unproducto de subespacios abiertos de los espacios originales, en elcual cada factor es igual al espacio total, salvo para un númerofinito de índices.Trabajaremos ahora con espacios topológicos que tienen unapropiedad especial: Si x y y son puntos distintos del espacio,existe una vecindad V de x tal que y /∈ V , o existe una vecindadW de y tal que x /∈ W . En otras palabras, dados dos puntosdistintos del espacio, existe una vecindad de alguno de los dospuntos, que no contiene al otro.77