Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Ejercicios 2.21. Describa todas las topologías que existen sobre un conjuntode dos elementos y determine para cada par de ellas si unaes mas fina o menos fina que la otra.2. Determine cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderasy cuáles son falsas. En cada caso, justifique su respuestacon una demostración o un contraejemplo.a) La intersección de dos topologías sobre un conjunto Xes una topología sobre X.b) La intersección de cualquier familia de topologías sobreun conjunto X es una topología sobre X.c) La unión de dos topologías sobre un conjunto X es unatopología sobre X.d) La unión de cualquier familia de topologías sobre unconjunto X es una topología sobre X.3. Demuestre que si B es una base para una topología sobreX, entonces la topología generada por B es igual a la intersecciónde todas las topologías sobre X que contienen aB.4. Demuestre que si S es una sub-base para una topologíasobre X, entonces la topología generada por S es igual a laintersección de todas las topologías sobre X que contienena S.5. Dé un ejemplo que muestre que la topología radial del planono es menos fina que la topología usual.Regresar139
Ejercicios 2.31. Suponga que X es un conjunto dotado con la topologíadiscreta. Determine todas las vecindades de cada punto x ∈X.2. Sea X un conjunto dotado con la topología grosera y seax ∈ X. Determine todas las vecindades de x.3. Considere el conjunto de los números naturales con la topologíade las colas a la derecha. Determine todas las vecindadesde cada número natural.4. Considere el conjunto de los números naturales con la topologíade llos complementos finitos. Determine todas las vecindadesde cada número natural.5. Suponga que τ 1 y τ 2 son dos topologías sobre el mismoconjunto X y que τ 1 es más fina que τ 2 . Compare las coleccionesde vecindades de un mismo punto en los dos espaciostopológicos.6. Sea X un espacio topológico y suponga quepara cada x ∈ Xla colección B(x) es un sistema fundamental de vecindadesde x. Pruebe los siguientes hechos:a) Si V ∈ B(x), entonces x ∈ V .b) Si V 1 , V 2 ∈ B(x), entonces existe V 3 ∈ B(x) tal queV 3 ⊂ V 1 ∩ V 2 .c) Si V ∈ B(x), existe U ∈ B(x) tal que si y ∈ U entoncesW ⊂ V para algún W ∈ B(y).d) Un subconjunto A de X es abierto si y sólo si contieneuna vecindad básica de cada uno de sus puntos.140
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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clase de equivalencia de un punto (
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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Page 146 and 147: 9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Page 162 and 163: Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
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Page 166 and 167: 6. Pruebe que el espacio de Sierpin
Page 168 and 169: 5. Demuestre que el espacio topoló
Page 170 and 171: Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
Page 172 and 173: Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
Page 174 and 175: Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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