Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

clase de equivalencia de un punto (x 0 , y 0 ) está formada porlos puntos de la circunferencia centrada en el origen y quepasa por el punto (x 0 , y 0 ). Sean X = R 2 /∼, π : R 2 −→ Xla aplicación canónica y consideremos la topología cocientesobre X.Veamos √ que la función f : X −→ R definida por f[(x 0 , y 0 )] =x20 + y0 2 es una inmersión.i. En primer lugar, nótese que la manera como está definidala relación ∼ implica, no sólo que f está bien definida,sino que es uno a uno.ii. Ahora veamos que f es continua. Para esto consideremosun intervalo abierto (a, b) en R. Para verificar quef −1 (a, b) es un conjunto abierto en X, debemos comprobarque π −1 (f −1 (a, b)) es abierto en R 2 . Analizaremostres casos:a. si a < b ≤ 0, entonces π −1 (f −1 (a, b)) = ∅,b. si a < 0 < b, entonces π −1 (f −1 (a, b)) es el interiordel círculo de radio b centrado en el origen yc. si a ≤ 0 < b, entonces π −1 (f −1 (a, b)) es la coronaabierta limitada por las circunferencias centradasen el origen, de radios a y b.Este análisis permite concluir que f es una funcióncontinua.iii. Ahora consideremos un conjunto A abierto en X. Porla definición de la topología cociente π −1 (A) es un conjuntoabierto en el plano. Si a ∈ f(A), existe un puntoz en el plano tal que [z] ∈ A y f[z] = a. Comoz ∈ π −1 (A), existe ɛ > 0 tal que la bola de radio ɛ85