Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

eal M > 0 tal que |f(x)| < M para todo x ∈ R). La funciónρ : X × X −→ R definida por ρ(f, g) = sup{|f(x) − g(x)| :x ∈ R} es una métrica sobre X.6. Sea C(I) el conjunto de todas las funciones continuas definidasdel intervalo I = [0, 1] en R. La función ρ : C(I)×C(I) −→R definida por ρ(f, g) = ∫ 10|f(x) − g(x)|dx es una métricasobre C(I).7. Cualquier subconjunto Y de un espacio métrico (X, d) esun espacio métrico con la restricción d ↾ Y ×Y de la funciónd a Y × Y .8. Si X = {x 1 , x 2 , ...} es un conjunto contable, entonces lafunción d : X × X −→ R definida por⎧⎨1 + 1 si i ≠ jd(x i , x j ) = i + j⎩0 si i = jes una métrica sobre X. El espacio (X, d) se llama el EspacioMétrico de Sierpinski y d se llama la métrica de Sierpinski.En un espacio métrico, además de medir la distancia entre dospuntos, es posible medir la distancia entre un punto y un conjunto.1.1.3 Definición. Sea (X, d) un espacio métrico. Si A es unsubconjunto no vacío de X entonces la distancia d(x, A) de unpunto x ∈ X al conjunto A se define como el ínfimo de losnúmeros d(x, a) donde a ∈ A; esto es,d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A}.17