Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Para⋃cada x ∈ X definimos la función σ(x) = ̂x : P(X) −→˙A∈P(X) C A por⎧⎪⎨ 0 si x ∈ A ◦̂x(A) = 1 si x ∈ F rA ∩ A⎪⎩2 si x /∈ A.Veamos que la función σ : X −→ ∏ A∈P(X) C A es una inmersión.Con este fin veamos que σ es una función continua, abiertay uno a uno.1. Sea A ∈ P(X) y O un subconjunto abierto de C A . Entonces{σ −1 (πA −1 (O)) = A ◦ si O = {0}X si O = {0, 1, 2},luego σ es continua.2. Sea A un subconjunto abierto de X. Se tiene = {̂x : x ∈ A}= π −1A ({0}),entonces σ es una función abierta.3. Sean x y y elementos distintos de X. Como y /∈ A = {x}se tiene que ŷ(A) = 2 y ̂x(A) = 0 o ̂x(A) = 1 dependiendode si A es o no abierto en X. Entonces ̂x ≠ ŷ y σ es uno auno.Ejercicios80