Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Dado i ∈ {1, ..., n} consideremos B i = V ∩ A αi . La colección{B i } i=1,...,n es una familia finita de subconjuntos cerrados de Vcuya unión es V y como la restricción de f ↾ V a B i es continuapara cada i = 1, ..., n, entonces la proposición 3.1.10 garantizaque la función f ↾ V es continua. Esto garantiza que existe unavecindad abierta W en V tal que f ↾ V (W ) ⊂ O. Esta contenenciaimplica que f es continua en x porque W es una vecindad dex en X, ya que V es abierto en X y además f(W ) = f ↾ V (W ).Puesto que x fue escogido de manera arbitraria, se concluye quef es una función continua.Ejercicios3.2. Homeomorfismos e inmersionesConsideremos la función f : (− π 2 , π ) −→ R definida por f(x) =2tan −1 x. Es bien sabido que la función f es continua, uno a unoy sobreyectiva, además, que su inversa, la co-restricción de lafunción tangente al intervalo (− π 2 , π ), también es una función2continua. Esta función f con estas características nos permitepasar del espacio topológico (− π 2 , π ) al espacio topológico R2sin perder información alguna. En otras palabras, gracias a lafunción f, conocemos la topología de uno de los espacios unavez conocemos la topología del otro.En el fondo, aunque los dos espacios son en apariencia distintos,son el mismo espacio. Los conjuntos abiertos, cerrados, lasadherencias, los interiores o los puntos de acumulación en uno68