Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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Ejercicios 2.71. Demuestre la Proposición 2.7.3.2. Demuestre la Proposición 2.7.4.3. Sea X es un espacio topológico. Demuestre o dé contraejemplosque refuten cada una de las siguientes afirmaciones:a) (A ◦ ) ◦ = A ◦ para cada A ⊂ X.b) (A∩B) ◦ = A ◦ ∩B ◦ para cada A y cada B subconjuntosde X.c) (A c ) ◦ = (A ◦ ) c para cada A ⊂ X.d) A ◦ es abierto en X para cada A ⊂ X.e) Fr (Fr A) =Fr A para cada A ⊂ X.f )Fr (A ∪ B) =Fr A∪Fr B para cada A y cada B subconjuntosde X.g) Fr (A ∩ B) = Fr A∩ Fr B para cada A y cada B subconjuntosde X.h) Fr (A c ) = ( Fr A) c para cada A ⊂ X.i) (Fr A) ◦ = ∅ para cada A ⊂ X.4. Determine el interior, el exterior y la frontera de cada unode los siguientes subconjuntos en R.a) Z.b) Q.c) R Q.d) (−1, 1].149
e) [1, ∞).f ){− 1 }n : n ∈ N .{ } 1g)n : n ∈ N ∪ {0}.5. Realice nuevamente el ejercicio anterior pero considerandola topología de los complementos finitos sobre R.6. Suponga que τ 1 y τ 2 son dos topologías sobre un mismoconjunto X y que τ 1 es más fina que τ 2 . Compare el interiory la frontera de un subconjunto A de X en (X, τ 1 ) con suinterior y su frontera en (X, τ 2 ).Regresar150
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Notas de TopologíaClara M. Neira U
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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0.3. Uniones e intersecciones arbit
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1. Para cada x ∈ X existe y ∈ Y
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0.6. Productos arbitrariosHasta aho
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1. (Reflexividad) x ∼ x para todo
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|X| = ℵ 0 . Si X es equipotente c
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eal M > 0 tal que |f(x)| < M para t
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Nótese que en un espacio seudomét
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De la misma forma si se escoge b
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Una de las propiedades más bonitas
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Consideremos un espacio métrico X.
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Capítulo 2Espacios TopológicosLa
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La colección de todos los conjunto
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3. Sea X un conjunto cualquiera. La
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Esto implica que la topologíausual
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2. Si U, V ∈ V(x) entonces U ∩
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3. Si A es una familia de conjuntos
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un conjunto X con las propiedades
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3.Para cada punto z del planodefini
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La unión arbitraria de conjuntos c
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Si X es un espacio topológico y A
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1. A ⊂ A para cada A ⊂ X.2. A =
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3. Si X es un conjunto infinito y p
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2.7. Interior, exterior y frontera
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2.7.5 Ejemplos.1. En R con la topol
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2. En R con topología usual, la fr
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subespacio de X. Esto es, considera
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4. Si a ∈ A y si B(a) es un siste
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3.1.1 Definición. Sean X y Y espac
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3.1.5 Ejemplo. Consideremos el inte
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3.1.7 Teorema. Si f : X −→ Y y
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X. Ahora bien, f −1 (K) = ⋃ i=1
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de los espacios tienen su contrapar
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La inclusión de un subespacio en u
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La colección B de todas las inters
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4.2.1 Definición. Sean X y Y dos e
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4.3.1∏Definición. Definimos la t
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En cualquier caso, α −1 (πA −
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4.4. Estructuras finales - Topolog
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De manera recíproca, Si O es un su
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clase de equivalencia de un punto (
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2. Si ϕ([x]) = ϕ([y]), entonces f
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5.1.2 Ejemplos.1. El espacio de Sie
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5.1.3 Definición. Un espacio topol
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como el radio de las vecindades esc
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K = {(x 1 , x 2 ) : f(x 1 ) = f(x 2
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1. Sea X un conjunto dotado con la
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Page 158 and 159: Ejercicios 4.11. Demuestre que si Y
Page 160 and 161: Ejercicios 4.21. Sean X y Y dos esp
Page 162 and 163: Ejercicios 4.31. Sea (X i ) i∈I u
Page 164 and 165: Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
Page 166 and 167: 6. Pruebe que el espacio de Sierpin
Page 168 and 169: 5. Demuestre que el espacio topoló
Page 170 and 171: Ejercicios 5.41. Demuestre que todo
Page 172 and 173: Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
Page 174 and 175: Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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