Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Ejercicios 3.11. Demuestre que toda función definida de un espacio discretoX en cualquier espacio Y es continua y además que si cadafunción con dominio X es continua, entonces X tiene latopología discreta.2. Demuestre que toda función definida de un X en un espacioY con topología grosera es continua y que si cada funcióncon codominio Y es continua, entonces Y tiene la topologíagrosera.3. Sea A un subconjunto de un conjunto X. La función característicade A, δ A : X −→ R, se define por{1 si x ∈ Aδ A (x) =0 si x /∈ A.Demuestre que si X es un espacio topológico y A ⊂ X,entonces la función característica de A es continua si y sólosi A es abierto y cerrado en X.4. Demuestre que si f y g son funciones continuas definidas deun espacio X en R, entonces el conjunto {x ∈ X : f(x) =g(x)} es cerrado en X.5. Utilice el ejercicio anterior para justificar la siguiente afirmación:“Si dos funciones continuas definidas de un espacioX en R coinciden en un subconjunto denso de X, coincidenen todo X.6. Demuestre que si f : R −→ R es una función continua ysi f(a) < f(b) entonces para cada y ∈ [f(a), f(b)] existe xentre a y b tal que f(x) = y.152