Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

5.3. Espacios regulares y Espacios T 3En esta sección estudiaremos espacios topológicos en los quela topología del espacio permite separar conjuntos cerrados depuntos fuera de ellos.5.3.1 Definición. Un espacio topológico X es un espacio regularsi para cada K subconjunto cerrado de X y cada x ∈ X K,existen conjuntos U y V abiertos en X, tales que K ⊂ U, x ∈ Vy U ∩ V = ∅.5.3.2 Ejemplo.Consideremos sobre R la topología τ para la cual las vecindadesbásicas de x son los intervalos de la forma [x, y) con y > x.Si K es cerrado en (R, τ) y x /∈ K, existe y > x tal que U =[x, y) ⊂ R K. Para cada z ∈ K, con z < x, sea V z = [z, x)y para cada z ∈ K, con z ≥ y, sea V z = [z, z + 1). El conjuntoV = ⋃ z∈K V z es abierto, contiene a K y U ∩ V = ∅. Entonces(R, τ) es regular.Nótese que el hecho de que sea posible separar con conjuntosabiertos, puntos de conjuntos cerrados, no implica que se puedanseparar dos puntos distintos del espacio, utilizando conjuntosabiertos disyuntos. Es decir, un espacio regular no siempre es unespacio de Hausdorff, como lo muestran los siguientes ejemplos.5.3.3 Ejemplos.96