Notas de Topolog´ıa Clara M. Neira U. - UN Virtual

Ejercicios 2.31. Suponga que X es un conjunto dotado con la topologíadiscreta. Determine todas las vecindades de cada punto x ∈X.2. Sea X un conjunto dotado con la topología grosera y seax ∈ X. Determine todas las vecindades de x.3. Considere el conjunto de los números naturales con la topologíade las colas a la derecha. Determine todas las vecindadesde cada número natural.4. Considere el conjunto de los números naturales con la topologíade llos complementos finitos. Determine todas las vecindadesde cada número natural.5. Suponga que τ 1 y τ 2 son dos topologías sobre el mismoconjunto X y que τ 1 es más fina que τ 2 . Compare las coleccionesde vecindades de un mismo punto en los dos espaciostopológicos.6. Sea X un espacio topológico y suponga quepara cada x ∈ Xla colección B(x) es un sistema fundamental de vecindadesde x. Pruebe los siguientes hechos:a) Si V ∈ B(x), entonces x ∈ V .b) Si V 1 , V 2 ∈ B(x), entonces existe V 3 ∈ B(x) tal queV 3 ⊂ V 1 ∩ V 2 .c) Si V ∈ B(x), existe U ∈ B(x) tal que si y ∈ U entoncesW ⊂ V para algún W ∈ B(y).d) Un subconjunto A de X es abierto si y sólo si contieneuna vecindad básica de cada uno de sus puntos.140