Notas de TopologÂ´Ä±a Clara M. Neira U. - UN Virtual

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subespacio de X. Esto es, consideraremos siempre que tiene latopología heredada de X.2.8.3 Ejemplos.1. La topología usual sobre cada subconjunto de R n es la topologíainducida por la topología usual de R n .2. Si (X, ρ) es un espacio métrico y A ⊂ X, la topología inducidasobre A es la topología generada por la restricciónde ρ al conjunto A × A.3. La topología usual { de R induce } la topología discreta sobreel conjunto 1n : n ∈ N ; pero NO sobre el conjunto{ } 1n : n ∈ N ∪ {0}. La razón es que el conjunto {0} no esabierto en el subespacio.4. El eje x como subespacio del Plano de Moore tiene la topologíadiscreta. En efecto, la intersección de un conjunto de la formaA ∪ {z}, donde A es una bola abierta usual del plano,contenida en el semiplano superior y tangente al eje x enz, con el eje x es el conjunto {z}.5. Cualquier subespacio de un espacio discreto es discreto ycualquier subespacio de un espacio trivial es trivial.Una base para una topología sobre un conjunto X también describela topología de los subespacios de X como lo muestra elsiguiente resultado.57
2.8.4 Lema. Sean X un espacio topológico y A ⊂ X. Si Bes una base para la topología de X entonces la colección B A ={O ∩ A : O ∈ B} es una base para la topología inducida sobre A.Demostración. Es inmediato que cada elemento de B A es abiertoen A. Ahora bien, todo subconjunto abierto de A tiene la formaC ∩ A donde C es un subconjunto abierto de X. Si a ∈ C ∩ A yO es un abierto básico de X que contiene a A y está contenidoen C, entonces a ∈ O ∩ A y O ∩ A ⊂ C ∩ A.2.8.5 Ejemplo.La colección{∅} ∪ {[0, 1]} ∪ {[0, a) : 0 < a ≤ 1}∪ {(a, b) : 0 ≤ a del intervalo [0, 1].El siguiente resultado resume algunas de las más importantespropiedades de los subespacios.2.8.6 Proposición. Si A es un subespacio de un espacio topológicoX entonces:1. Un subconjunto F de A es cerado en A si y sólo si existeK cerrado en X tal que F = K ∩ A.2. Si E ⊂ A y denotamos por Adh A E la adherencia de Een A y por Adh X E la adherencia de E en X, entoncesAdh A E =Adh X E ∩ A.3. Si a ∈ A, entonces V es una vecindad de a en A si y sólosi existe una vecindad U de a en X tal que V = U ∩ A.58
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elementos del conjunto A pertenecen
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Además se satisfacen las siguiente
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cada i = 1, ..., N, escogemos una v
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c) {(x : x ∈ A y x ∈ B) o x ∈
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d) Si⋃x ∈ A para cada elemento
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Ejercicios 0.51. Dé un ejemplo de
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)c)∏i∈I (X i ∪ Y i ) = ∏ i
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h) (x 1 , y 1 ) ∼ (x 2 , y 2 ) si
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Ejercicios 2.21. Describa todas las
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7. Sea Γ = {(x, y) ∈ R 2 : y ≥
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a) Sean τ la topología usual sobr
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9. Sea X cualquier conjunto. Diremo
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Ejercicios 3.21. Sean X y Y espacio
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Ejercicios 4.51. Demuestre que si f
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Ejercicios 5.51. Demuestre que un e
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Ejercicios 5.71. Pruebe que el Plan
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